设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-14(a2+b2-c2-d2)2是一个非零整数，求证：|m|一定是个合数．-数学试题及答案

1、试题题目：设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-14(a2+b2-c2-d2)2是一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-04-08 07:30:00

试题原文

设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-

1

4

(a2+b2-c2-d2)2是一个非零整数，求证：|m|一定是个合数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：有理数定义及分类

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p?q，p?q均为大于1的正整数即可．证明：m=(ab+cd)2-

1

4

(a2+b2-c2-d2)
=[ab+cd+

1

2

(a2+b2-c2-d2)][ab+cd-

1

2

(a2+b2-c2-d2)
=

1

4

[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2]
=

1

4

[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2]
=

1

4

(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)
因为m是非零整数，则

1

4

(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整数．
由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，
所以四个数均为偶数．
所以可设a+b+c-d=2m₁，a+b-c+d=2m₂，a-b+c+d=2m₃，-a+b+c+d=2m₄，其中m₁，m₂，m₃，m₄均为非零整数．
所以m=

1

4

（2m₁）（2m₂）（2m₃）（2m₄）=4m₁m₂m₃m₄，
所以|m|=4|m₁m₂m₃m₄|≠0，
所以|m|是一个合数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-14(a2+b2-c2-d2)2是一..”的主要目的是检查您对于考点“初中有理数定义及分类”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中有理数定义及分类”。

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