（1）试求出奇数的四次方被16除所得的余数（最小非负剩余）；（2）问：是否存在六个整数a、b、c、d、e、f，使得a4+b4+c4+d4+e4+f4=20079？请说明理由（允许利用在（1）中所得到的结论）．-数学试题及答案

1、试题题目：（1）试求出奇数的四次方被16除所得的余数（最小非负剩余）；（2）问：是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-04-20 07:30:00

试题原文

（1）试求出奇数的四次方被16除所得的余数（最小非负剩余）；
（2）问：是否存在六个整数a、b、c、d、e、f，使得a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴=2007⁹？请说明理由（允许利用在（1）中所得到的结论）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：有理数除法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设a是奇数，则a=2n+1（n是整数），（1分）a⁴=（2n+1）⁴=（4n²+4n+1）²=[4n（n+1）+1]²（2分）
因为n（n+1）为偶数，所以4n（n+1）是8的倍数，（3分）
令4n（n+1）=8t（t是整数），则a⁴=（8t+1）²=64t²+16t+1=16?（4t²+t）+1，（4分）
即a⁴被16除所得的余数为1；（5分）
（2）不存在．理由如下：
显然，偶数的四次方被16除的余数为0，由（1）知：奇数的四次方被16除的余数为1，而整数可划分为奇数与偶数两大类，所以a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴被16除的余数只可能为0、1、2、3、4、5、6．（10分）
另一方面，2007被16除的余数为7，所以2007⁹被16除的余数就是7⁹被16除的余数，注意到7⁹=7×7⁸=7×49⁴=7×（16×3+1）⁴被16除的余数为7．（14分）
由以上两个方面知：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+e⁴+f⁴与2007⁹被16除的余数永远不可能相同，因此所述的a、b、c、d、e、f不存在．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）试求出奇数的四次方被16除所得的余数（最小非负剩余）；（2）问：是..”的主要目的是检查您对于考点“初中有理数除法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中有理数除法”。

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