已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-14 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：广西自治区中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴

，解得a=-1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
（2）对称轴为x=

=1，令y=-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，
∴C（-1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）
可得：

，解得k=-1，b=3，
∴直线AB解析式为y=-x+3．当x=1时，y=2，
∴D点坐标为（1，2）．
（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN⊥x轴于点N，
则ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S_△ABP=S_梯形PNOB+S_△PNA-S_△AOB=

（OB+PN）ON+

PN×AN-

OA×OB
=

（3+y）x+

y（3-x）-

×3×3
=

（x+y）-

，
∵P（x，y）在抛物线上，
∴y=-x²+2x+3，
代入上式得： S_△ABP=

（x+y）-

=-

（x²-3x）=-

（x-

）²+

，
∴当x=

时，S_△ABP取得最大值．
当x=

时，y=-x²+2x+3=

，
∴P（

，

）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；
P点的坐标为（

，

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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