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1、试题题目:已知函数f(x)=ax2+x+1(a>0)的两个不同的零点为x1,x2(Ⅰ)..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax2+x+1(a>0)的两个不同的零点为x1,x2
(Ⅰ)证明:(1+x1)(1+x2)=1;
(Ⅱ)证明:x1<-1,x2<-1;
(Ⅲ)若x1,x2满足lg
x1
x2
∈[-1,1]
,试求a的取值范围.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性、最值



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)由题意知,x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+x+1=0的实数根,
∴x1+x2=-
1
a
,x1x2=
1
a
.∴x1+x2=-x1x2
∴(1+x1)(1+x2)①(3分)
(Ⅱ)证明:由于关于x一元二次方程ax2+x+1=0有两个不等实数根x1,x2
故有a>0且△=1-4a>0∴0<a<
1
4
(4分)
x1+x2=-
1
a
<-4
x1?x2=
1
a
>4
(5分)
(x1+1)+(x2+1)≤-2<0
(x1+1)(x2+1)=1>0
x1+1<0
x2+1<0
即x1<-1,x2<-1得证.(6分)
(Ⅲ)由lg
x1
x2
∈[-1,1]
?
1
10
x1
x2
≤10,由①得x1=
1
1+x2
-1=-
x2
1+x2

x1
x2
=-
1
1+x2
.∴
1
10
-
1
1+x2
≤10,∴
1
11
-
1
x2
10
11
(7分)
a=
1
x1?x2
=-
1+x2
x22
=-(-
1
x2
)2
+(-
1
x2
)=-[(-
1
x2
)-
1
2
]2
+
1
4
,(8分)
-
1
x2
=-
1
2
时,a取最大值为
1
4

-
1
x2
=-
1
11
-
1
x2
=-
10
11
时,a取最小值
10
121
;(10分)
又因为0<a<
1
4
,故a的取值范围是[
10
121
1
4
)
(12分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2+x+1(a>0)的两个不同的零点为x1,x2(Ⅰ)..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性、最值”。


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