已知函数f(x)=x2+1ax+b对于定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，-1）上是增函数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+1ax+b对于定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2+1

ax+b

对于定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，-1）上是增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（-x）=-f（x）
即

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

（2分）
所以-ax+b=-ax-b
∴b=0，（4分）
又f（1）=2，所以

2

a+b

=2，
∴a=1（6分）
（2）由（1）得f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

设x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意两实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，（9分）
因为x₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）（11分）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函数（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+1ax+b对于定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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