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1、试题题目:若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-01 07:30:00

试题原文

若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
f(x1)+f(x2)
2
≤f(
x1+x2
2
)成立,则称函数y=f(x)为区间D上的凸函数.
(1)证明:定义在R上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函数;
(2)设f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0),并且x∈[0,1]时,f(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围,并判断函数
f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)能否成为R上的凸函数;
(3)定义在整数集Z上的函数f(x)满足:①对任意的x,y∈Z,f(x+y)=f(x)f(y);②f(0)≠0,f(1)=2.
试求f(x)的解析式;并判断所求的函数f(x)是不是R上的凸函数说明理由.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性、最值



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)证明:对任意x1,x2∈R,当a<0,
有[f(x1)+f(x2)]-2f(
x1+x2
2
)=ax12+bx1+c+ax22+bx2+c-2[a(
x1+x2
2
2+b(
x1+x2
2
)+c]=ax12+ax22-
1
2
a(x12+x22+2x1x2)=
1
2
a(x1-x22             (3分)
∴当a<0时,f(x1)+f(x2)≤2f(
x1+x2
2
),即
f(x1)+f(x2)
2
≤f(
x1+x2
2

当a<0时,函数f(x)是凸函数.                                          (5分)
(2)当x=0时,对于a∈R,有f(x)≤1恒成立;当x∈(0,1]时,要f(x)≤1恒成立,即ax2≤-x+1,
∴a≤
1
x2
-
1
x
=(
1
x
-
1
2
2-
1
4
恒成立,∵x∈(0,1],∴
1
x
≥1,当
1
x
=1时,(
1
x
-
1
2
2-
1
4
取到最小值为0,
∴a≤0,又a≠0,∴a的取值范围是(-∞,0).
由此可知,满足条件的实数a的取值恒为负数,由(1)可知函数f(x)是凸函数  (11分)
(3)令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2,∵f(0)≠0,∴f(0)=1,(12分)
令y=-x,则1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x),故f(x)=
1
f(-x)

若n∈N*,则f(n)=f[(n-1)+1]=f(n-1)f(1)=2f(n-1)=…=[f(1)]2;          (14分)
若n<0,n∈Z,则-n∈N*,∴f(n)=
1
f(-n)
=
1
2-n
=2n;∴x∈Z时,f(x)=2x
综上所述,对任意的x∈Z,都有f(x)=2x;                                 (15分)
1
2
[20+21]=
3
2
2
,所以f(x)不是R上的凸函数.                       (16分)
(对任意x1,x2∈R,有
1
2
[f(x1)+f(x2)]=
1
2
[2x1+2x2]≥
1
2
×2
2x1+x2
=f(
x1+x2
2
),所以f(x)不是R上的凸函数. 16分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性、最值”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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