已知f（x）=x3+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．（1）求c的值；（2）求证f（1）≥2；（3）求|α-β|的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x3+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x³+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α-β|的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；
∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x²+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0．
（2）∵f（x）=0的根为α，2，β，
∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤-3，又d=-8-4b
∴d≥4
f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=-8-4b且b≤-3，
∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（3）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）
=x³-（α+β+2）?x²-2αβ
∴

α+β+2=-b

αβ=-

d

2

；
∴|β-α|²=（α+β）²-4αβ
=（b+2）²+2d
=b²+4b+4-16-8b
=b²-4b-12
=（b-2）²-16
又∵b≤-3，∴|β-α|≥3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x3+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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