已知函数f（x）=x3-(32m+1)x2+2mx(m∈R)．（1）若m=1，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）=14x[f(x)+(32m+1)x2]+(3-m)lnx至少有一个极值点，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-(32m+1)x2+2mx(m∈R)．（1）若m=1，讨论函数f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x3-(

3

2

m+1)x2+2mx(m∈R)．
（1）若m=1，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）=

1

4

x[f(x)+(

3

2

m+1)x2]+(3-m)lnx至少有一个极值点，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x3-(

3

2

m+1)x2+2mx(m∈R)，
m=1，
∴f′（x）=3x²-5x+2=（3x-2）（x-1），
令f′（x）＞0，得x＜

2

3

，或x＞1，
由f′（x）＜0，得

2

3

＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，

2

3

），（1，+∞）上为增函数，
在（

2

3

，1）上为减函数．
（2）∵g（x）=

1

4

x4+

1

2

mx2+(3-m)lnx，(x＞0)
∴g′(x)=x3+mx+

3-m

x

，x＞0，
∴g′(x)=

x4+mx2+(3-m)

x

，x＞0
令g′（x）=0，得x⁴+mx²+（3-m）=0（*），
①当△=m²-4（3-m）≤0，
即-6≤m≤2时，
方程（*）无解，此时g（x）无极值点．
②当△=m²-4（3-m）＞0，
即m＜-6或m＞2时，
（i）当3-m＜0，即m＞3时，方程（*）有一正、一负两个根，
∵t=x²，∴方程x⁴+mx²+（3-m）=0只有一个正数解，
此时g（x）只有一个极值点．
（ii）当

m＜-6，或m＞2

-m＞0

3-m＞0

时，即m＜-6时，
方程（*）有两个相异正根，
∵t=x²，∴方程x⁴+mx²+（3-m）=0恰有两个相异正数解，
此时g（x）有两个极值点，
由①②知，g（x）至少一个极值点时，m的取值范围是m＜-6或m＞3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-(32m+1)x2+2mx(m∈R)．（1）若m=1，讨论函数f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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