已知函数f（x）=-13x3+bx2-3a2x（a≠0）在x=a处取得极值，（1）用x，a表示f（x）；（2）设函数g（x）=2x3-3af′（x）-6a3如果g（x）在区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-13x3+bx2-3a2x（a≠0）在x=a处取得极值，（1）用x，a表..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-

1

3

x³+bx²-3a²x（a≠0）在x=a处取得极值，
（1）用x，a表示f（x）；
（2）设函数g（x）=2x³-3af′（x）-6a³如果g（x）在区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题得 f′（x）=-x²+2bx-3a²，
因为f′（a）=0?b=2a?f（x）=-

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3

x³+2ax²-3a²x
所以f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x．
（2）由已知，g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，令g'（x）=0?x=a或x=-2a
①若a＞0?当x＜a或x＞-2a时，g′（x）＞0；当-2a＜x＜a时，g′（x）＜0
所以当x=a∈（0，1）时，g（x）在（0，1）有极小值．
②同理当a＜0时，x=-2a∈（0，1），即a∈（-

1

2

，0）时，g（x）在（0，1）有极小值
综上所述：当a∈（0，1）∪（-

1

2

，0）时，g（x）在（0，1）有极小值

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-13x3+bx2-3a2x（a≠0）在x=a处取得极值，（1）用x，a表..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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