已知函数f（x）=x+ax2+3a2（a≠0，a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若对任意x1，x2∈[-3，+∞），有f（x1）-f（x2）≤m成立，求实数m的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x+ax2+3a2（a≠0，a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x+a

x2+3a2

（a≠0，a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求实数m的最小值．

试题来源：海淀区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

求导函数，可得f′(x)=

-(x-a)(x+3a)

(x2+3a2)2

．
令f′（x）=0，解得x=a或x=-3a．
（Ⅰ）当a＞0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表

函数f（x）的单调递增区间是（-3a，a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-3a），（a，+∞）．
当a＜0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表

函数f（x）的单调递增区间是（a，-3a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，a），（-3a，+∞）．
（Ⅱ）当a=1时，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．
又当x＞1时，f(x)=

x+1

x2+3

＞0．
所以f（x）在[-3，+∞）上的最小值为f(-3)=-

1

6

，最大值为f(1)=

1

2

．
所以对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），f(x1)-f(x2)≤f(1)-f(-3)=

2

3

．
所以对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），使f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立的实数m的最小值为

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x+ax2+3a2（a≠0，a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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