已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2）单调递减．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若A（x0，f（x0））在函数f（x）的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2）单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2）单调递减．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若A（x₀，f（x₀））在函数f（x）的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上；
（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]单调递增，
在区间[1，2）单调递减，所以x=1时，取得极大值．
所以f'（1）=0．（2分）
因为f'（x）=4x³-12x²+2ax，
所以4-12+2a=0．解得a=4．（4分）
（Ⅱ）因为点A（x₀，f（x₀））关于直线x=1的对称点B的坐标为（2-x₀，f（x₀）），
且f（2-x₀）=（2-x₀）⁴-4（2-x₀）³+4（2-x₀）²-1x₀⁴-4x₀³+4x₀²-1=f（x₀）．（8分）
所以点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上．
（Ⅲ）因为函数g（x）=bx²=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
等价于方程x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3个不等实根．
由x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1得x⁴-4x³+（4-b）x²=0．
因为x=0是其中一个根，
所以方程x⁴-4x³+（4-b）x²=0有2个非零且不等的实数根．（12分）
故由

△=16-4(4-b)＞0

4-b≠0

得b＞0且b≠4.（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2）单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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