函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=3x+1，若函数y=f（x）在x=-2时有极值．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）在区间[-3，-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=3x+1，若函数y=f（x）在x=-2时有极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，求f（x）在该区间上的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知P（1，4），
f′（x）=3x²+2ax+b …（2分）
∵曲线上过点P（1，f（1））的切线方程平行与y=3x+1，且函数y=f（x）在x=-2 时有极值．
∴

3+2a+b=3

12-4a+b=0

，解得

a=2

b=-4

．
∴f（x）=x³+2x²-4x+c
（2）∵f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
∴x＞

2

3

，x＜-2，f'（x）＞0；
-2＜x＜

2

3

，f'（x）＜0．
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-2）（

2

3

，+∞）
单调减区间为：（-2，

2

3

）
（3）∵函数在[-3，-2）上增，（-2，

2

3

）上减，（

2

3

，1]上增；
且f（-2）=8+c，f（1）=-1+c；f（-3）=3+c，f（

2

3

）=-

40

27

+c；
由函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为10，
得f（-2）=8+c=10?c=2，
∴f（x）在该区间上的最小值为：f(

2

3

)=

14

27

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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