已知函数f（x）=e-xsinx（其中e=2.718…）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值与最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=e-xsinx（其中e=2.718…）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值与最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=（-sinx+cosx）e^-x=

2

cos（x+

π

4

）e^-x．
令f′（x）=0，解得：x=kπ+

π

4

，k∈Z．
因为当x∈（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z）时，f′（x）＞0；当x∈（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间是（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z），单调递减区间是（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，-

3π

4

）上单调递减，在（-

3π

4

，

π

4

）上单调递增，在（

π

4

，π]上单调递减．
f（-π）=0，f（

π

4

）=

2

e-

π

4

＞0，f（π）=0，f（-

3π

4

）=-

2

e

3π

4

＜0
所以f（x）在[-π，π]上的最大值为

2

e-

π

4

，最小值为-

2

e

3π

4

．
所以f（x）在[-π，+∞）上，x=2kπ+

π

4

（k∈Z）时，取得最大值

2

e-

π

4

；当x=2kπ-

3

4

π（k∈Z）时，取得最小值-

2

e

3π

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=e-xsinx（其中e=2.718…）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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