已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-13与x=1时都取得极值（1）求a，b的值及f（x）的单调区间（2）若对x∈[-1，2]，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-13与x=1时都取得极值（1）求a，b的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-

1

3

与x=1时都取得极值
（1）求a，b的值及f（x）的单调区间
（2）若对x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导数，得f′（x）=3x²+2ax+b
∵在x=-

1

3

与x=1时，函数取得极值
∴

f/(-

1

3

)=

1

3

-

2a

3

+b=0

f/(1)=3+2a+b=0

?

a=-1

b=-1

∴f（x）=x³-x²-x+c，其导数为f′（x）=3x²-2x-1
当x＜-

1

3

或x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数；
而当-

1

3

＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数f（x）的增区间为（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）；减区间为（-

1

3

，1）
（2）∵对x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值小于右边c²根据（1）的单调性，可得f（x）的最大值是f（-

1

3

）、f（2）中的较大值
∵f（-

1

3

）=

5

27

+c＜f（2）=2+c
∴f（x）的最大值是2+c
因此2+c＜c²恒成立，解之得c＜-1或c＞2
∴c的取值范围为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-13与x=1时都取得极值（1）求a，b的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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