已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R)．（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求证：当x＞1时，12x2+lnx＜23x3．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R)．（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求证：当x＞1时，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=

1

2

x2-alnx(a∈R)．
∴f′(x)=x -

a

x

又∵f（x）在x=2时取得极值，
∴f′(2)=2 -

a

2

=0，解得a=4
（2）∵f′(x)=x -

a

x

，（x＞0）
当a＜0时，又由x＞0，易得f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当a＜0时，（0，+∞）为函数的单调递增区间；
当a=0，f（x）=

1

2

x²，当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0，f（x）为增函数，
故当a=0时，[0，+∞）为函数的单调递增区间；
当a＞0时，当x∈（0，

a

）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当a＜0时，（0，

a

）为函数的单调递减区间，（

a

，+∞）为函数的单调递增区间；
（3）令g（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，
则g′（x）=2x2-x-

1

x

=

2x3-x2-1

x

=

(x-1)(2x2+x+1)

x

∵当x＞1时，g′（x）＞0
故在（1，+∞）上，g（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx为增函数
即当x＞1时，g（x）＞g（1）=

1

6

＞0
故当x＞1时，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12x2-alnx(a∈R)．（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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