函数f(x)=x-alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图象恒过定点；（2）当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的取值范围；（3）若对任意a∈[m，0）时，-数学试题及答案

1、试题题目：函数f(x)=x-alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

函数f(x)=x-

alnx

x

，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图象恒过定点；
（2）当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的取值范围；
（3）若对任意a∈[m，0）时，函数y=f（x）在定义域上恒单调递增，求m的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
∴函数y=f（x）图象恒过定点（1，1）． …（2分）
（2）当a=1时，f(x)=x-

lnx

x

，
∴f′(x)=1-

1-lnx

x2

，即f′(x)=

x2+lnx-1

x2

，
令f'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

∴f_min（x）=f（1）=1，
∵f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，
∴-2b≥f_min（x），即-2b≥1，
∴实数b的取值范围为(-∞，-

1

2

]．…（9分）
（3）f′(x)=1-

a-alnx

x2

，即f′(x)=

x2+alnx-a

x2

，令h（x）=x²+alnx-a，
由题意可知，对任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即h（x）=x²+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立．
∵h′(x)=2x+

a

x

=

2x2+a

x

，令h'（x）=0，得x=-

-

a

2

（舍）或

-

a

2

．
列表如下：

x

（0，

-

a

2

）

-

a

2

（

-

a

2

，+∞）

h'（x）

-

0

+

h（x）

↘

极小值

↗

∴hmin(x)=h(

-

a

2

)=(ln

-

a

2

-

3

2

)a≥0，解得a≥-2e³．
∴m的最小值为-2e³． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f(x)=x-alnxx，其中a为常数．（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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