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1、试题题目:已知函数f(x)=x2-2acoskπ?lnx(k∈N*,a∈R,且a>0)..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x2-2acoskπ?lnx(k∈N*,a∈R,且a>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若k=2010,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.

  试题来源:南通模拟   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)由已知得x>0且f′(x)=2x-(-1)k?
2a
x

当k是奇数时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k是偶数时,则f′(x)=2x-
2a
x
=
2(x+
a
)(x-
a
)
x

所以当x∈(0,
a
)
时,f′(x)<0,
当x∈(
a
,+∞)时,f′(x)>0.
故当k是偶数时,f(x)在(0,
a
)
上是减函数,
在(
a
,+∞)上是增函数.
(2)若k=2010,则f(x)=x2-2alnx(k∈N*).
记g(x)=f(x)-2ax=x2-2axlnx-2ax,
g′(x)=2x-
2a
x
-2a=
2
x
(x2-ax-a)

若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
令g'(x)=0,得x2-ax-a=0.因为a>0,x>0,
所以x 1=
a-
a2+4a
2
<0
(舍去),
x 2=
a+
a2+4a
2

当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)是单调递减函数;
当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数.
当x=x2时,g'(x2)=0,g(x)min=g(x2).
因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.
g(x2)=0
g′(x2)=0
x22-2alnx2-2ax2=0
x22-ax 2-a=0

两式相减得alnx2+ax2-a=0,因为a>0,所以2lnx2+x2-1=0(*).
设函数h(x)=2lnx+x-1,
因为在x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.
因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,从而解得a=
1
2
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=x2-2acoskπ?lnx(k∈N*,a∈R,且a>0)..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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