已知函数f（x）=lnx-ax2+（a-2）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax2+（a-2）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值．

试题来源：丰台区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax²+（a-2）x，∴函数的定义域为（0，+∞）． …（1分）
∴f′(x)=

1

x

-2ax+(a-2)=

1-2ax2+(a-2)x

x

=

-(2x-1)(ax+1)

x

． …（3分）
∵f（x）在x=1处取得极值，
即f'（1）=-（2-1）（a+1）=0，
∴a=-1． …（5分）
当a=-1时，在(

1

2

，1)内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．∴a=-1． …（6分）
（Ⅱ）∵a²＜a，∴0＜a＜1． …（7分）f′(x)=

1

x

-2ax+(a-2)=

1-2ax2+(a-2)x

x

=-

(2x-1)(ax+1)

x

∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，
∴f（x）在(0，

1

2

)上单调递增；在(

1

2

，+∞)上单调递减，…（9分）
①当0＜a≤

1

2

时，f（x）在[a²，a]单调递增，
∴f_max（x）=f（a）=lna-a³+a²-2a； …（10分）
②当

a＞

1

2

a2＜

1

2

，即

1

2

＜a＜

2

时，f（x）在(a2，

1

2

)单调递增，在(

1

2

，a)单调递减，
∴fmax(x)=f(

1

2

)=-ln2-

a

4

+

a-2

2

=

a

4

-1-ln2； …（11分）
③当

1

2

≤a2，即

2

≤a＜1时，f（x）在[a²，a]单调递减，
∴f_max（x）=f（a²）=2lna-a⁵+a³-2a²． …（12分）
综上所述，当0＜a≤

1

2

时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是lna-a³+a²-2a；
当

1

2

＜a＜

2

时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是

a

4

-1-ln2；
当a≥

2

时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是2lna-a⁵+a³-2a²．
…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax2+（a-2）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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