（1）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（ⅱ）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其-数学试题及答案

1、试题题目：（1）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C，（ⅰ）求函数f（x）的单调区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

（1）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C，
（ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（ⅱ）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则

为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（1）（ⅱ）的正确命题，并予以证明。

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）（ⅰ）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=，
当x∈时，f′（x）＞0；
当x∈时，f′（x）＜0；
因此，f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为。
（ⅱ）曲线C在点P₁处的切线方程为y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，
由得x³-x=（3x₁²-1）x-2x₁³，
即（x-x₁）²（x+2x₁）=0，解得x=x₁或x=-2x₁，故x₂=-2x₁，
进而有
，
用x₂代替x₁，重复上述计算过程，
可得x₃=-2x₂和S₂=；
又x₂=-2x₁≠0，
所以，
因此有。