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1、试题题目:函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R),(Ⅰ)要使y=f(x)在(0,1)上单调递增..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00

试题原文

函数y=f (x )=-x3+ax2+b(a,b∈R ),
(Ⅰ)要使y=f(x)在(0,1)上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅱ)当a>0时,若函数满足y极小值=1,y极大值=,求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅲ)若x∈[0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为θ,求当0≤θ≤时a的取值范围。

  试题来源:陕西省模拟题   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
解:(Ⅰ)
要使f(x)在(0,1)上单调递增,
则x∈(0,1)时,f′(x)≥0恒成立,
≥0,
即当x∈(0,1)时,恒成立,
,即a的取值范围是[
(Ⅱ)由,令f′(x)=0,得x=0或=
∵a>0,∴当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

∴y极小值=f(0)=b=1,y极大值==+·+1=
∴b=1,a=1,
故f(x)=
(Ⅲ)当x∈[0,1]时,tanθ=
由θ∈[0,],得0≤f′(x)≤1,
即x∈[0,1]时,0≤≤1恒成立,
当x=0时,a∈R,
当x∈(0,1]时,由≥0恒成立,
由(Ⅰ)知
≤1恒成立,a≤(3x+),
(等号在=时取得);
综上,
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R),(Ⅰ)要使y=f(x)在(0,1)上单调递增..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。


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