已知函数f（x）=ex-x（1）证明：对一切x∈R，都有f（x）≥1（2）证明：1+12+13+…+1n＞ln（n+1）（n∈N*）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex-x（1）证明：对一切x∈R，都有f（x）≥1（2）证明：1+12+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x-x
（1）证明：对一切x∈R，都有f（x）≥1
（2）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f′（x）=e^x-1=0，得x=0
∵当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数
∴[f（x）]_min=f（0）=1∴x∈R时，f（x）≥1
（2）由（1）可知：当x＞0时，e^x＞x+1，即x＞ln（x+1）
则1＞ln2，

1

2

＞ln(

1

2

+1)，，

1

n

＞ln(

1

n

+1)
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex-x（1）证明：对一切x∈R，都有f（x）≥1（2）证明：1+12+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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