【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x2-3x+3恒成立．（1）求f（x）的表达式；（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实-数学试题及答案

1、试题题目：【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

【解析图片】设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值的集合A．
（3）若关于x的方程f（x）=nx-1的两根为x₁，x₂，试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≤|x₁-x₂|对任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此

a-b+c=0

4a+2b+c=1

，
故b=

1

3

-a，c=

1

3

-2a．由x-1≤f（x）
得ax²-（

2

3

+a）x+

4

3

-2a≥0对x∈R恒成立，
故△=（

2

3

+a）²-4a（

4

3

-2a）≤0，
即9a²-4a+

4

9

≤0，
解得a=

2

9

，
故f（x）=

2

9

x²+

x

9

-

1

9

（2）由

2

9

x²+

x

9

-

1

9

≤nx-1
得2x²+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）²-64≥0，
解得n≤-

7

9

或n≥1，从而A=（-∞，-]

7

9

∪[1，+∞）
（3）显然|x₁-x₂|≥0，当且仅当n=-

7

9

或n=1时取得等号，
故m²+tm+1≤0对t∈[-3，3]恒成立．记g（t）=m?t+（m²+1），
则有

g(-3)=m2-3m+1≤0

g(3)=m2+3m+1≤0

，
即

3-

5

2

≤m≤

3+

5

2

-3-

5

2

≤ m≤

-3+

5

2

，
故m∈?，不存在这样的实数m

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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