函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f（x1）+f（x2）=f（x1x2）成立．（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；（2）若f（-4）=4，记an=(-1)n?f(2n)-数学试题及答案

1、试题题目：函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x₁，x₂，都有f（x₁）+f（x₂）=f（x₁x₂）成立．
（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；
（2）若f（-4）=4，记 an=(-1)n?f(2n)

&(n∈N，n≥1)

，求数列{a_n}的前2009项的和S₂₀₀₉；
（3）（理）若x＞1时，f（x）＜0，且不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)对任意正实数x，y恒成立，求非零实数a的取值范围．
（4）（文）若x＞1时，f（x）＜0，解关于x的不等式 f（x-3）≥0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴函数为偶函数 …（4分）
（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2ⁿ）=f（2^n-1）+f（2）
∴f（2ⁿ）=2n…（8分）
∴a_n=2?（-1）ⁿn，
∴S₂₀₀₉=-2010…（10分）
（3）设 0＜x＜1，则

1

x

＞1，0=f(1)=f(x)+f(

1

x

)，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）
（理）f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)得f(

x2+y2

a

xy

)≤0?

x2+y2

|a|

xy

≥1|a|≤

x2+y2

xy

恒成立，
又

x2+y2

xy

≥

2

，从而0＜|a|≤

2

…（18分）
（4）（文）f（x-3）≥0?0＜|x-3|≤1?2≤x＜3或3＜x≤4…（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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