繁体字转换器繁体字网旗下考试题库之数学试题栏目欢迎您!
1、试题题目:函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[a,b]?D,使得函数f(x)满足:..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-11 07:30:00

试题原文

函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[a,b]?D,使得函数f(x)满足:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有(  )
①f(x)=x2(x≥0);
②f(x)=ex(x∈R);
③f(x)=
4x
x2+1
(x≥0);
④f(x)=loga(ax-
1
8
)(a>0,a≠1)
A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③

  试题来源:怀化二模   试题题型:单选题   试题难度:偏易   适用学段:高中   考察重点:函数的定义域、值域



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②
f(a)=2a
f(b)=2b
f(a)=2b
f(b)=2a

①f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[a,b],则
f(a)=2a
f(b)=2b
,∴
a2=2a
b2=2b
a=0
b=2

∴f(x)=x2(x≥0),若存在“倍值区间”[0,2];
②f(x)=ex(x∈R),若存在“倍值区间”[a,b],则
f(a)=2a
f(b)=2b
,∴
ea=2a
eb=2b

构建函数g(x)=ex-2x,∴g′(x)=ex-2,
∴函数在(-∞,ln2)上单调减,在(ln2,+∞)上单调增,
∴函数在x=ln2处取得极小值,且为最小值.
∵g(ln2)=2-2ln2>0,∴g(x)>0恒成立,∴ex-2x=0无解,故函数不存在“倍值区间”;
f(x)=
4x
x2+1
(x≥0)
f′(x)=
4(x2+1)-4x×2x
(x2+1)2
=
4(1+x)(1-x)
(x2+1)2

若存在“倍值区间”[a,b]?[0,1],则
f(a)=2a
f(b)=2b
,∴
4a
a2+1
=2a
4b
b2+1
=2b
,∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1];
f(x)=loga(ax-
1
8
)(a>0,a≠1)
.不妨设a>1,则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m,n],则
f(m)=2m
f(n)=2n
,必有
loga(am-
1
8
)=2m
loga(an-
1
8
)=2n

必有m,n是方程loga(ax-
1
8
)=2x
的两个根,
必有m,n是方程a2x-ax+
1
8
=0
的两个根,
由于a2x-ax+
1
8
=0
存在两个不等式的根,故存在“倍值区间”[m,n];
综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
故选C.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间[a,b]?D,使得函数f(x)满足:..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的定义域、值域”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

数学试题大全 2015-12-11更新的数学试题 网站地图 | 繁体字网 -- 为探究古典文化架桥,为弘扬中华文明助力!
版权所有: CopyRight © 2010-2014 www.fantiz5.com All Rights Reserved.
联系我们: