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1、试题题目:已知函数f(x)=lnx+ax.(I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx+ax.
(I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;
(II)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x)2)(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的极值与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(I)对一切x>0,f(x)≤1恒成立,即对一切x>0,lnx+ax≤1恒成立,∴a≤
1
x
-
lnx
x

令g(x)=
1
x
-
lnx
x
,则g′(x)=
lnx-2
x2

令g′(x)<0,可得0<x<e2;令g′(x)>0,可得x>e2
∴x=e2时,g(x)取得最小值g(e2)=-
1
e2

∴a≤-
1
e2

(II)证明:由题意,k=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=
lnx2-lnx1
x2-x1
+a

要证明存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立,只要证明f′(x)-k=0在(x1,x2)内有解即可
令h(x)=f′(x)-k=
1
x
-
lnx2-lnx1
x2-x1
,只要证明h(x)在(x1,x2)内存在零点即可
∵h(x)在(x1,x2)内是减函数,只要证明h(x1)>0,h(x2)<0
即证
x2
x1
-1-ln
x2
x1
>0,
x1
x2
-1-ln
x1
x2
>0
令F(t)=t-1-lnt(t>0),∵F′(t)=1-
1
t
,∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴函数在t=1时,取得最小值0,∴F(t)≥0
x1
x2
>0且
x1
x2
≠1
x2
x1
>0且
x2
x1
≠1
x2
x1
-1-ln
x2
x1
>0,
x1
x2
-1-ln
x1
x2
>0
∴结论成立.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx+ax.(I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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