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1、试题题目:已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若存在实数k,使得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的极值与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)由f(x)=ex(x2+ax-a)可得,
f′(x)=ex[x2+(a+2)x)],.…(2分)
当a=1时,f(1)=e,f′(1)=4e.…(4分)
所以 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1),
即y=4ex-3e.…(5分)
(Ⅱ) 令f′(x)=ex[x2+(a+2)x)]=0,
解得x=-(a+2)或x=0.…(6分)
当-(a+2)≤0,即a≥-2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)≥0,所以f(x)是[0,+∞)上的增函数.
所以方程f(x)=k在[0,+∞)上不可能有两个不相等的实数根.…(8分)
当-(a+2)>0,即a<-2时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表
x0(0,-(a+2))-(a+2)(-(a+2),+∞)
f′(x)0-0+
f(x)-a
a+4
ea+2
由上表可知函数f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-(a+2))=
a+4
ea+2
.…(10分)
因为 函数f(x)是(0,-(a+2))上的减函数,是(-(a+2),+∞)上的增函数,
且当x≥-a时,有f(x)≥e-a(-a)>-a.…(11分)
所以要使方程x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,k的取值范围必须是(
a+4
ea+2
,-a].…(13分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。


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