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1、试题题目:设函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,其中x∈R,a是实常数,e是自然对数的底..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-17 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,其中x∈R,a是实常数,e是自然对数的底数.
(Ⅰ)确定a的值,使f(x)的极小值为0;
(Ⅱ)证明:当且仅当a=3时,f(x)的极大值为3;
(Ⅲ)讨论关于x的方程f(x)+f′(x)=2xe-x+x-2(x≠0)的实数根的个数.

  试题来源:模拟题   试题题型:解答题   试题难度:偏难   适用学段:高中   考察重点:函数的零点与方程根的联系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:

解:(Ⅰ)
令f′(x)=0,解得:x=0或x=2-a,
①当a=2时,f′(x)≤0,此时无极值;
②当0<2-a,即a<2时,f′(x)和f(x)的变化如下表1,

此时应有f(0)=0,所以,a=0<2;
③当0>2-a,即a>2时,f′(x)和f(x)的变化如下表2,

此时应有f(2-a)=0,即
所以必有
综上所述,当a=0或a=4时,f(x)的极小值为0。
(Ⅱ)若a<2,则由表1知,应有f(2-a)=3,


,则
由a<2,故g′(x)>0,
于是当a<2时,g(a)<g(2)=2<3,即不可能成立;
若a>2,则由表2知,应有f(0)=3,即a=3;
综上所述,当且仅当a=3时极大值为3。
(Ⅲ) ∵
∴方程可以化为
进而化为
构造函数
求导可得,
由ψ′(x)>0得x<0或x>2,由ψ′(x)<0得0<x<2,
从而ψ(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,
当x=2时,函数ψ(x)取得极小值
并且结合函数图象可知:当|x|无限趋近于0时,ψ(x)>0并且取值无限增大,其图象向上无限接近y轴,但永远也达不到y轴(此时y轴足渐近线);
当x<0并无限减小时,ψ(x)>0并且取值也无限减小,其图象在 x轴上方并向左无限接近x轴,但永远也达不到x轴(此时x轴是渐近线);
当x>2并无限增大时,ψ(x)>0并且取值也无增大,其图象在第一象限内向右上方无限延伸(如图所示)
 
因此,当a≤0时,原方程无实根;
当0<a<时,原方程只有一个实数根;
当a=时,原方程有两个不等的实数根;
当a>时,原方程有三个不等的实数根。

3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,其中x∈R,a是实常数,e是自然对数的底..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的零点与方程根的联系”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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