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1、试题题目:设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)满足:?x∈R都有f(x)+f(-x)..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-17 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)满足:?x∈R都有f(x)+f(-x)=0,且x=1时,f(x)取极小值-
2
3

(1)f(x)的解析式;
(2)当x∈[-1,1]时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直:
(3)设F(x)=|xf(x)|,证明:x∈(0,
3
)
时,F(x)≤
3
4

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数解析式的求解及其常用方法



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)因为,?x∈R,f(-x)=-f(x)成立,所以:b=d=0,
由:f'(1)=0,得3a+c=0,
由:f(1)=-
2
3
,得a+c=-
2
3
(3分)
解之得:a=
1
3
,c=-1从而,
函数解析式为:f(x)=
1
3
x3-x
(5分)
(2)由于,f'(x)=x2-1,
设:任意两数x1,x2∈[-1,1]是函数f(x)图象上两点的横坐标,
则这两点的切线的斜率分别是:k1=f'(x1)=x12-1,k2=f'(x2)=x22-1
又因为:-1≤x1≤1,-1≤x2≤1,所以,k1≤0,k2≤0,得:k1k2≥0知:k1k2≠-1
故,当x∈[-1,1]是函数f(x)图象上任意两点的切线不可能垂直(10分)
(3)当:x∈(0,
3
)
时,x2∈(0,3)且3-x2>0此时F(x)=|xf(x)|=|x(
1
3
x3-x)|
=
1
3
x2(3-x2)
1
3
×(
x2+3-x2
2
)2
=
3
4

当且仅当:x2=3-x2,即x=
6
2
∈(0,
3
)
,取等号,故;F(x)≤
3
4
(14分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)满足:?x∈R都有f(x)+f(-x)..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数解析式的求解及其常用方法”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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