在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-02 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么

=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

试题来源：安徽省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：四种命题及其相互关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y²=2x于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，
此时，直线l与抛物线相交于点A（3，

）、B（3，﹣

）
∴

=3；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，
由

得ky²﹣2y﹣6k=0y₁y₂=﹣6
又∵

，
∴

，
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么

=3”是真命题；
（2）逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点，
如果

=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A（2，2），B（

，1），此时

=3，
直线AB的方程为：

，而T（3，0）不在直线AB上；
说明：由抛物线y²=2x上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）满足

=3，
可得y₁y₂=﹣6，或y₁y₂=2，
如果y₁y₂=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；
如果y₁y₂=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中四种命题及其相互关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中四种命题及其相互关系”。

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