设直线l：y=k（x+1）与椭圆x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞3k21+3k2；（Ⅱ）若AC=2CB，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．-数学试题及答案

1、试题题目：设直线l：y=k（x+1）与椭圆x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B两个..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

设直线l：y=k（x+1）与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：a2＞

3k2

1+3k2

；
（Ⅱ）若

AC

=2

CB

，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．

试题来源：东城区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意，直线l显然不平行于坐标轴，
故y=k（x+1）可化为x=

1

k

y-1
将x=

1

k

y-1代入x²+3y²=a²，消去x，
得(

1

k2

+3)y2-

2

k

y+1-a2=0①（1分）
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
△=(-

2

k

)2-4(

1

k2

+3)(1-a2)＞0（2分）
化简整理即得a2＞

3k2

1+3k2

．（☆）（4分）
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得y1+y2=

2k

1+3k2

②（5分）
因为

AC

=(-1-x1，-y1)，

CB

=(x2+1，y2)，由

AC

=2

CB

，
得y₁=-2y₂③（6分）
由②③联立，解得y₂=

-2k

1+3k2

④（7分）
△OAB的面积S=

1

2

|OC|?|y1-y2|=

3

2

|y2|
=

3|k|

1+3k2

≤

3|k|

2

3

|k|

=

3

2

上式取等号的条件是3k²=1，即k=±

3

（9分）
当k=

3

时，由④解得y2=-

3

；
当k=-

3

时，由④解得y2=

3

．
将k=

3

，y2=-

3

及k=-

3

，y2=

3

这两组值分别代入①，
均可解出a²=5（11分）
经验证，a²=5，k=±

3

满足（☆）式．
所以，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x²+3y²=5（12分）
注：若未验证（说明a2=5，k=±

3

）满足（☆）式，扣（1分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设直线l：y=k（x+1）与椭圆x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B两个..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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