已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x₁=0，x2=-

b

a

，
所以S=

∫

-

b

a

0

(ax2+bx)dx=（

1

3

ax3+

1

2

bx2）

|

-

b

a

0

=

1

3

a?(-

b

a

)3+

1

2

b?(-

b

a

)2
=

1

6a2

?b3（1）…（4分）
又直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，
即它们有唯一的公共点
由方程组

x+y=4

y=ax2+bx

，
得ax²+（b+1）x-4=0，其判别式△必须为0，
即△=（b+1）²+16a=0，
于是a=-

1

16

(b+1)2，…（8分）
代入（1）式得：S(b)=

128b3

6(b+1)4

(b＞0)，
S′(b)=

128b2(3-b)

3(b+1)5

．
令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3；
当0＜b＜3时，S′（b）＞0；
当b＞3时，S′（b）＜0．
故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，
即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=

9

2

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：