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1、试题题目:设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-01-05 07:30:00

试题原文

设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,若|AB|=1,
(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.

  试题来源:广州一模   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:圆锥曲线综合



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)设P(x,y),M(x1,x12),N(x2,x22),切线的斜率 k=2x.
∴l1 的方程为 y-x12=2x1(x-x1),即   y=2x1x-x12   ①,
同理,l2 的方程为 y=2x2 x-x22   ②,令 y=0 可求出 A(
x1
2
,0),B(
x2
2
,0).
∵|AB|=1,所以,|x1-x2|=2,∴|x1+x2|2-4x1x2 =4,
由①,②,得  x=
x1+x2
2
,y=x1x2,故点P(
x1+x2
2
,x1x2).
∴y=x2-1,
(2)当 A,B 所在直线过 C:y=x2 的焦点.
(3)设 MN:y=kx+b 又由 y=x2 得 x2-kx-b=0,所以,x1+x2=k,x1x2=-b,
∴P到MN的距离为 d=
|k
x1+x2
2
-x1x2+b|
1+k2
=,MN=
1+K2
|x1-x2|,
∴S=
1
2
MN?d=
1
4
(|x1+x2|2 -4x1x2|)?|x1-x2|=2,为定值.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中圆锥曲线综合”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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