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1、试题题目:在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1为到定点F(32,12)的距离与到..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-01-05 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1为到定点F(
3
2
1
2
)
的距离与到定直线l1
3
x+y+2=0
的距离相等的动点P的轨迹,曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的.
(1)求曲线C1与坐标轴的交点坐标,以及曲线C2的方程;
(2)过定点M0(m,0)(m>2)的直线l2交曲线C2于A、B两点,已知曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称.问:弦长|CD|是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,请说明理由.

  试题来源:闸北区二模   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:圆锥曲线综合



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)设P(x,y),由题意,可知曲线C1为抛物线,并且有
(x-
3
2
)
2
+(y-
1
2
)
2
=
1
2
|
3
x+y+2|

化简,得抛物线C1的方程为:x2+3y2-2
3
xy-8
3
x-8y=0

令x=0,得y=0或y=
8
3

令y=0,得x=0或x=8
3

∴曲线C1与坐标轴的交点坐标为(0,0)和(0,
8
3
)
(8
3
,0)

由题意可知,曲线C1为抛物线,过焦点与准线垂直的直线为y-
1
2
=
1
3
(x-
3
2
)
,化为y=
3
3
x

可知此对称轴过原点,倾斜角为30°.
又焦点F(
3
2
1
2
)
l1:y=-
3
x-2
的距离为|
3
×
3
2
+
1
2
+2
(
3
)
2
+12
|=2

∴C2是以(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,其方程为:y2=4x.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),
由题意知直线l2的斜率k存在且不为零,设直线l2的方程为y=k(x-m),则直线CD的方程为y=-
1
k
x+b

y=-
1
k
x+b
y2=4x.
得y2+4ky-4kb=0,
∴△=16k(k+b)>0①
∴y1+y2=-4k,y1?y2=-4kb,
设弦CD的中点为G(x3,y3),则y3=-2k,x3=k(b+2k).
∵G(x3,y3)在直线l2上,-2k=k(bk+2k2-m),即b=
m-2-2k2
k

将②代入①,得0<k2<m-2,
|CD|=
1+(-k)2
?|y1-y2|
=
1+k2
?
(y1+y2)2-4y1y2
=4
-(k2-
m-3
2
)
2
+(
m-1
2
)
2

设t=k2,则0<t<m-2.
构造函数f(t)=4
-(t-
m-3
2
)
2
+(
m-1
2
)
2
,0<t<m-2.
由已知m>2,当
m-2>0
m-3<0
,即2<m≤3时,f(t)无最大值,所以弦长|CD|不存在最大值.
当m>3时,f(t)有最大值2(m-1),即弦长|CD|有最大值2(m-1).
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1为到定点F(32,12)的距离与到..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中圆锥曲线综合”。


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