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1、试题题目:设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x0,y0)(x0≠0)是..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-01-05 07:30:00

试题原文

设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x0,y0)(x0≠0)是抛物线C上的一定点.
(1)已知直线l过抛物线C的焦点F,且与C的对称轴垂直,l与C交于Q,R两点,S为C的准线上一点,若△QRS的面积为4,求p的值;
(2)过点A作倾斜角互补的两条直线AM,AN,与抛物线C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).若直线AM,AN的斜率都存在,证明:直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:圆锥曲线综合



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)由题设F(0,
p
2
)
,设Q(x1
p
2
)
,则R(-x1
p
2
)
…(1分)
|QR|=
(x1-(-x1))2+(
p
2
-
p
2
)
2
=2
x12
=2
2p×
p
2
=2p
.…(2分)
∴由△QRS的面积为4,得:
1
2
×2p×p=4
,得:p=2.…(4分)
(2)证明:由题意A1(-x0,y0)…(5分)
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.
解法一:设抛物线在A1处的切线的斜率为k,则其方程为y=k(x+x0)+y0…(6分)
联立
y=k(x+x0)+y0
x2=2py
,消去y得x2-2pkx-2px0k-2py0=0
2py0=x02代入上式得:x2-2pkx-2px0k-x02=0…(7分)
△=(-2pk)2+4(2px0k+x02)=0…(8分)
p2k2+2px0k+x02=0,即(pk+x0)2=0,得k=-
x0
p

即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为-
x0
p
.…(9分)
解法二:由x2=2py得y=
1
2p
x2
,…(6分)
y=
x
p
…(7分)
∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1(-x0,y0)处的切线的斜率为-
x0
p
.…(9分)
再求直线MN的斜率.
解法一:设直线AM的斜率为k1,则由题意直线AN的斜率为-k1.…(10分)
直线AM的方程为y-y0=k1(x-x0),则直线AN的方程为y-y0=-k1(x-x0).
联立
x2=2py
y=k1(x-x0)+y0
,消去y得x2-2pk1x+2pk1x0-x02=0…(1)…(11分)
∵方程(1)有两个根x0,x1,∴△=(-2pk1)2-4(2px0k1-x02)>0
x0,1=
2pk1±
2
,x0+x1=2pk1,即x1=2pk1-x0,同理可得x2=-2pk1-x0…(12分)
直线MN的斜率kMN=
y2-y1
x2-x1
=
x22
2p
-
x12
2p
x2-x1
=
x1+x2
2p
=
-2x0
2p
=-
x0
p
.…(13分)
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.…(14分)
解法二:∵kAM=-kAN…(10分)
y0-y1
x0-x1
=-
y0-y2
x0-x2
…(11分)
y0=
x02
2p
y1=
x12
2p
y2=
x22
2p
分别代入上式得:
x02
2p
-
x12
2p
x0-x1
=-
x02
2p
-
x22
2p
x0-x2

整理得2x0=x1+x2.…(12分)
∴直线MN的
斜率kMN=
y2-y1
x2-x1
=
x22
2p
-
x12
2p
x2-x1
=
x1+x2
2p
=
-2x0
2p
=-
x0
p
.…(13分)
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率.…(14分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x0,y0)(x0≠0)是..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中圆锥曲线综合”。


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