已知椭圆x29+y24=1内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．（1）若弦AB恰好被点P平分，求直线AB的方程；（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，求△AOB的面积．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x29+y24=1内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

9

+

y2

4

=1内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．
（1）若弦AB恰好被点P平分，求直线AB的方程；
（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，求△AOB的面积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的斜率为k，
由A、B在椭圆上，得

x

21

9

+

y

21

4

=1 ①

x

22

9

+

y

22

4

=1 ②

又∵P（2，1）是AB的中点，∴

x1+x2=4

y1+y2=2

．
由①-②得

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

8

9

．
∴直线AB的方程为y-1=-

8

9

（x-2），即 8x+9y-25=0；
（2）．当原点O到直线AB的距离取最大值时满足：OP⊥AB．
∵k_OP=

1

2

，∴k_AB=-2，
∴直线AB的方程为 y-1=-2（x-2），即 2x+y-5=0．
联立方程组

2x+y-5=0

x2

9

+

y2

4

=1

得 40x²-180x+189=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2=

9

2

x1x2=

189

40

，
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

2

3

．
∴S_△AOB=

1

2

|OP||AB|=

3

4

15

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x29+y24=1内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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