已知抛物线x2=4y及定点P（0，8），A、B是抛物线上的两动点，且AP=λPB(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明：点M的纵坐标为定值；（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线x2=4y及定点P（0，8），A、B是抛物线上的两动点，且AP=λ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线x²=4y及定点P（0，8），A、B是抛物线上的两动点，且

AP

=λ

PB

(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP？证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）方法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
对抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x
所以，过抛物线上A、B两点的切线方程分别为：y=

1

2

x1(x-x1)+y1，y=

1

2

x2(x-x2)+y2，即y=

1

2

x1x-

1

4

x12，y=

1

2

x2x-

1

4

x22，解得M(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
又

AP

=λ

PB

(λ＞0)，得（-x₁，8-y₁）=λ（x₂，y₂-8），即

-x1=λx2

8-y1=λ(y2-8)

将式（1）两边平方并代入y1=

1

4

x12，y2=

1

4

x22得y₁=λ²y₂，再代入（2）得λy₂=8，解得y1=8λ，

y

2

=

8

λ

且有x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-32，所以，点M的纵坐标为-8．
方法2：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
.由

y=kx+8

y=

1

4

x2.

可得x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=

1

2

x1，k2=

1

2

x2，∴MA：y-

1

4

x12=

1

2

x1(x-x1)；MB：y-

1

4

x22=

1

2

x2(x-x2)
解得：yM=

-

1

4

x

21

x2+

1

4

x1

x

22

x2-x1

=

1

4

x1x2=-8
即点M的纵坐标为定值-8
（II）考虑到AB∥x轴时，显然要使∠AQP=∠BQP，则点Q必定在y轴上，
设点Q（0，t），此时kAQ=

y1-t

x1

，kBQ=

y2-t

x2

，
结合（1）x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32
故kAQ+kBQ=

x12

4

-t

x1

+

x22

4

-t

x2

=

x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)

4x1x2

=0对一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故当t=-8，即Q（0，-8）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线x2=4y及定点P（0，8），A、B是抛物线上的两动点，且AP=λ..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：