已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．（I）求抛物线的方程；（II）若斜率为-33的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点M在直线l的右上方，求证：△MAB的内心在直-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．
（I）求抛物线的方程；
（II）若斜率为-

3

的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点M在直线l的右上方，求证：△MAB的内心在直线x=3上；
（III）在（II）中，若∠AMB=60°，求△MAB的内切圆半径长．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4，
∴3+

p

2

=4，∴p=2．
所以抛物线C：y²=4x．（3分）
（II）证明：由（I）得M(3，2

3

)，设l：x=-

3

y+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x

x=-

3

y+b

，消去x得y2+4

3

y-4b=0，所以y1+y2=-4

3

，
又KMA=

y1-2

3

x1-3

，KMB=

y2-2

3

x2-3

，y12=4x1，y22=4x2，
所以kMA+kMB=

4

y1+2

3

+

4

y2+2

3

=

4(y1+y2+4

3

)

(y1+2

3

)(y2+2

3

)

=0，
因此∠AMB的角平分线为x=3，即△MAB的内心在直线x=3上．（7分）
（III）由（II）得，直线MA，MB的倾斜角分别为60°，120°，所以kMA=

3

，kMB=-

3

．
直线MA：y=

3

(x-1)，所以

y2=4x

y=

3

(x-1)

?3x2-10x+3=0，x1=

1

3

，xM=3．|MA|=

1+(

3

)2|x1-xM|=

16

3

．
同理x2=

25

3

，|MB|=

32

3

．
设△MAB的内切圆半径为r，因为|AB|=

1+(-

3

)2|x1-x2|=

16

3

，
S△MAB=

1

2

|MA||MB|sin60°=

128

3

9

，
所以S△MAB=

1

2

(|MA|+|MB|+|AB|)r=

128

3

9

，
所以r=

8

3

-8

3

（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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