设抛物线y=x2过一定点A（-a，a2）（a＞2），P（x，y）是抛物线上的动点．（I）将AP2表示为关于x的函数f（x），并求当x为何值时，f（x）有极小值；（II）设（I）中使f（x）取极小值的正数x为x0，求-数学试题及答案

1、试题题目：设抛物线y=x2过一定点A（-a，a2）（a＞2），P（x，y）是抛物线上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

设抛物线y=x²过一定点A （-a，a²）（a＞

2

），P（x，y）是抛物线上的动点．
（I）将

AP

2表示为关于x的函数f（x），并求当x为何值时，f（x）有极小值；
（II）设（I）中使f（x）取极小值的正数x为x₀，求证：抛物线在点P₀（x₀，y₀）处的切线与直线AP₀垂直．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）

AP

=(x+a，y-a2)=(x+a，x2-a2)，则

f(x)=

AP

2=(x+a)2+(x2-a2)2=x4+(1-2a2)x2+2ax+a4+a2

．
∴f'（x）=4x³+2（1-2a²）x+2a．令f'（x）=0得2x³+（1-2a²）x+a=0，即（x+a）（2x²-2ax+1）=0．
∵a＞

2

，
∴此方程有三个根x₁=-a，x₂=

a-

a2-2

2

，x3=

a+

a2-2

2

，
①当x＜-a时，f'（x）＜0；
②当-a＜x＜

a-

a2-2

2

时，f'（x）＞0；
③当

a-

a2-2

2

＜x＜

a+

a2-2

2

时，f'（x）＜0；
④当x＞

a+

a2-2

2

时，f'（x）＞0．
∴当x=-a或x=

a+

a2-2

2

时，f（x）有极小值
（II）由（I）知，x₀=

a+

a2-2

2

，
则直线AP₀的斜率k₁=

x

20

-a2

x0+a

=x0-a=

a+

a2-2

2

-a=

a2-2

-a

2

，
又抛物线y=x²在点P₀（x₀，y₀）处的切线的斜率k₂=2x₀=a+

a2-2

，∴k₁k₂=

a2-2

-a

2

×(a+

a2-2

)=

a2-2-a2

2

=-1，
∴抛物线在点P₀（x₀，y₀）处的切线与直线AP₀垂直．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设抛物线y=x2过一定点A（-a，a2）（a＞2），P（x，y）是抛物线上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：