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1、试题题目:已知抛物线D的顶点是椭圆Q:x24+y23=1的中心O,焦点与椭圆Q的右焦..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线D的顶点是椭圆Q:
x2
4
+
y2
3
=1
的中心O,焦点与椭圆Q的右焦点重合,点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线D上的两个动点,且|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|
(Ⅰ)求抛物线D的方程及y1y2的值;
(Ⅱ)求线段AB中点轨迹E的方程;
(Ⅲ)求直线y=
1
2
x
与曲线E的最近距离.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:圆锥曲线综合



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(I)由题意,可设抛物线方程为y2=2px
由a2-b2=4-3=1?c=1.
∴抛物线的焦点为(1,0),∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x(2分)
∵点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线上的两个动点,
所以:y12=4x1,y22=4x2
∴(y1y22=16x1x2
|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|
 
OA
OB

∴x1x2+y1y2=0.
(y1y2)2
16
+y1y2
=0?y1y2(
y1y2
16
+1)
=0
∵y1y2≠0
∴y1y2=-16.
(Ⅱ)∵|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|
OA
OB

设OA:y=kx,OB:y=-
1
k
x
y=kx
y2=4x
?A(
4
k2
4
k
).同理可得B(4k2,-4k)
设AB的中点为(x,y),则由
x=
2
k2
+2k 2
y=
2
k
-2k
消去k,得y2=2x-8.(10分)
(Ⅲ)设与直线y=
1
2
x平行的直线x-2y+m=0.
由题设可知直线x-2y+m=0应与曲线E:y2=2x-8相切
y2=2x-8
x-2y+m=0
消去x整理得:y2-4y+2m+8=0.
所以△=16-4(2m+8)=0?m=-2
∴直线y=
1
2
x 与x-2y-2=0之间的距离即为直线y=
1
2
x
与曲线E的最近距离.
所以所求距离为:d=
|0-(-2)|
12+(-2)2
=
2
5
5
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知抛物线D的顶点是椭圆Q:x24+y23=1的中心O,焦点与椭圆Q的右焦..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中圆锥曲线综合”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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