已知复数z=32-12i，ω=22+22i．复数.zω，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知复数z=32-12i，ω=22+22i．复数.zω，z2ω3在复数平面上所对应的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-08 07:30:00

试题原文

已知复数z=

3

2

-

1

2

i，ω=

2

+

2

i．复数

.

zω

，z²ω³在复数平面上所对应的点分别为P，Q．
证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：复数的四则运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法一：z=

3

2

-

1

2

i=cos(-

π

6

)+isin(-

π

6

)，ω=

2

+

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

于是zω=cos

π

12

+isin

π

12

，

.

zω

=cos(-

π

12

)+isin(-

π

12

)，z2ω3=[cos(-

π

3

)+isin(-

π

3

)]×(cos

3π

4

+isin

3π

4

)=cos

5π

12

+isin

5π

12

因为OP与OQ的夹角为

5π

12

-(-

π

12

)=

π

2

，所以OP⊥OQ．
因为|OP|=|

.

z?

|=1．|OQ|=|z2?3|=1，所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
解法二：
因为z=

3

2

-

1

2

i=cos(-

π

6

)+isin(-

π

6

)，所以z³=-i．
因为ω=

2

+

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

，所以ω⁴=-1
于是

z2ω3

.

zω

=

z2ω3

.

zω

?

zω

=

z3ω4

|z|2|ω|2

=i
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知复数z=32-12i，ω=22+22i．复数.zω，z2ω3在复数平面上所对应的..”的主要目的是检查您对于考点“高中复数的四则运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中复数的四则运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：