已知函数f（x）=x3+ax2+2，若f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=1对称．（Ⅰ）求导函数f′（x）及实数a的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+2，若f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=1对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+2，若f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=1对称．
（Ⅰ）求导函数f′（x）及实数a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax，
因为f′（x）的图象关于直线x=1对称，所以-

1

3

a=1，a=-3，从而f′（x）=3x²-6x．
故f′（x）=3x²-6x，a=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x（x-2），
则当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）=2为极大值，又f（-1）=-2，f（2）=-2．
所以y=f（x）在区间[-1，2]上的最大值为2，最小值为-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+2，若f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=1对..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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