对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．现已知f（x）=x3-3x2-数学试题及答案

1、试题题目：对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．现已知f（x）=x³-3x²+2x-2，请解答下列问题：
（Ⅰ）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（Ⅱ）求证f（x）的图象关于“拐点”A 对称；并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）；
（Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）时，试比较

G(x1)+G(x2)

2

与G(

x1+x2

2

)的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f（1）=1³-3+2-2=-2∴拐点A（1，-2）…（3分）
（2）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上任意一点，则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀-2，因为P（x₀，y₀）关于A（1，-2）的对称点为P'（2-x₀，-4-y₀），
把P'代入y=f（x）得左边=-4-y₀=-x₀³+3x₀²-2x₀-2
右边=（2-x₀）³-3（2-x₀）²+2（2-x₀）-2=-x₀³+3x₀²-2x₀-2∴右边=右边∴P′（2-x₀，-4-y₀）在y=f（x）图象上∴y=f（x）关于A对称 …（7分）
结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”（写出其中之一）…（9分）
（3）设G（x）=ax³+bx²+d，则G（0）=d=1…（10分）∴G（x）=ax³+bx²+1，G'（x）=3ax²+2bx，G''（x）=6ax+2bG''（0）=2b=0，b=0，∴G（x）=ax³+1=0…（11分）
法一：

G(x1)+G(x2)

2

-G(

x1+x2

2

)=

a

2

x

31

+

a

2

x

32

-a(

x1+x2

2

)3=a[

1

2

x

31

+

1

2

x

32

-(

x1+x2

2

)3]=

a

2

[

x

31

+

x

32

-

x

31

+

x

32

+3

x

21

x2+3x1

x

22

4

]=

a

8

(3

x

31

+3

x

32

-3

x

21

x2-3x1

x

22

)=

a

8

[3

x

21

(x1-x2)-3

x

22

(x1-x2)]=

3a

8

(x1-x2)2(x1+x2)…（13分）
当a＞0时，

G(x1)+G(x2)

2

＞G(

x1+x2

2

)
当a＜0时，

G(x1)+G(x2)

2

＜G(

x1+x2

2

)…（14分）
法二：G′′（x）=3ax，当a＞0时，且x＞0时，G′′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）为凹函数，∴

G(x1)+G(x2)

2

＞G(

x1+x2

2

)…（13分）
当a＜0时，G′′（x）＜0，∴G（x）在（0，+∞）为凸函数∴

G(x1)+G(x2)

2

＜G(

x1+x2

2

)…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：