某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化-数学试题及答案

1、试题题目：某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，
及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f（x）与时间x（小时）的关系可近似地表示
为：f（x）=

2-

x

6

-

6

x+3

0≤x＜3

1-

x

6

3≤x≤6

，只有当污染河道水中碱的浓度不低于

1

3

时，才能对污染产生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？
（2）第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到

1

3

时，马上再投放1个单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为g（x），求g（x）的函数式及水中碱浓度的最大值．（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）

试题来源：江门二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知

0≤x＜3

2-

x

6

-

6

x+3

≥

1

3

或

3≤x≤6

1-

x

6

≥

1

3

解得1≤x＜3或3≤x≤4，即1≤x≤4
能够维持有效的抑制作用的时间：4-1=3小时．
（2）由（1）知，x=4时第二次投入1单位固体碱，显然g（x）的定义域为4≤x≤10
当4≤x≤6时，第一次投放1单位固体碱还有残留，
故g（x）=（1-

x

6

）+[2-

x-4

6

-

6

x-4+3

]=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

；
当6＜x≤10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，故
当6＜x≤7时，
g（x）=2-

x-4

6

-

6

x-4+3

=

8

3

-

x

6

-

6

x-1

；
当7＜x≤10时，g（x）=1-

x-4

6

=

5

3

-

x

6

；
所以g（x）=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

，4≤x≤6

8

3

-

x

6

-

6

x-1

，6＜x≤7

5

3

-

x

6

，7＜x≤10

当4≤x≤6时，g（x）=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

=

10

3

-(

x-1

3

+

6

x-1

)≤

10

3

-2

2

；
当且仅当

x

3

=

6

x-1

时取“=”，即x=1+3

2

（函数值与自变量值各1分）
当6＜x≤10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，
当6＜x≤7时，
g′（x）=

6

(x-1)2

-

1

6

=

(x+5)(7-x)

6(x-1)2

＞0，所以g（x）为增函数；
当7＜x≤10时，g（x）为减函数；故 g（x）_max=g（7）=

1

2

，
又

10

3

-2

2

-

1

2

=

289

-

288

6

＞0，
所以当x=1+3

2

时，水中碱浓度的最大值为

10

3

-2

2

．
答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放1+3

2

小时后，水中碱浓度的达到最大值为

10

3

-2

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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