已知函数f（x）=﹣x3+ax在（0，1）上是增函数．（1）求实数a的取值范围A；（2）当a为A中最小值时，定义数列{an}满足：a1=b∈（0，1），且2an+1=f（an），试比较an与an+1的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=﹣x3+ax在（0，1）上是增函数．（1）求实数a的取值范围A；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=﹣x³+ax在（0，1）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围A；
（2）当a为A中最小值时，定义数列{a_n}满足：a₁=b∈（0，1），且2a_n+1=f（a_n），试比较a_n与a_n+1的大小．

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵f（x）=﹣x³+ax，
∴f′（x）=﹣3x²+a，
∵f（x）=﹣x³+ax在（0，1）上是增函数，
∴f′（1）=﹣3+a≥0，
∴a≥3，即A=[3，+∞）．
（2）当a=3时，由题意：a_n+1=

f（a_n）=﹣

+

a_n，且a₁=b∈（0，1），
以下用数学归纳法证明：a_n∈（0，1），对n∈N*恒成立．
①当n=1时，a₁=b∈（0，1）成立；
②假设n=k时，a_k∈（0，1）成立，
那么当n=k+1时， a_k+1=﹣

a_k³+

a_k，
由①知g（x）=（﹣x³+3x）在（0，1）上单调递增，
∴g（0）＜g（a_k）＜g（1）即0＜a_k+1＜1，　
由①②知对一切n∈N*都有a_n∈（0，1）　
而a_n+1﹣a_n=﹣

a_n³+

a_n﹣a_n=

a_n（1﹣a_n²）＞0
∴a_n+1＞a_n．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=﹣x3+ax在（0，1）上是增函数．（1）求实数a的取值范围A；..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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