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1、试题题目:设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-01 07:30:00

试题原文

设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明曲线C与C1关于点A(
t
2
s
2
)对称;
(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=
t3
4
-t且t≠0.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:曲线的方程



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)曲线C1的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s.
(2)证明:在曲线C上任取一点B1(x1,y1).设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点,
则有
x1+x2
2
=
t
2
y1+y2
2
=
s
2
,所以x1=t-x2,y1=s-y2
代入曲线C的方程,得x2和y2满足方程:
s-y2=(t-x23-(t-x2),即y2=(x2-t)3-(x2-t)+s,可知点B2(x2,y2)在曲线C1上.
反过来,同样可以证明,在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上.
因此,曲线C与C1关于点A对称.
(3)证明:因为曲线C与C1有且仅有一个公共点,所以,方程组
y=x3-x
y=(x-t)3-(x-t)+s
有且仅有一组解.
消去y,整理得 3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0,这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t(t3-t-s)=0,即
t≠0
t(t3-4t-4s)=0.

所以s=
t3
4
-t
且t≠0.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位..”的主要目的是检查您对于考点“高中曲线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中曲线的方程”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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