如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．（1）求证：CM∥平面PAD；（2）点C到平面PA-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-13 07:30:00

试题原文

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）点C到平面PAD的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：点到直线、平面的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

以点C为空间直角坐标系的坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD成的角，∴∠PBC=30°．
∵PC=2，∴BC=2

3

，PB=4，∴D（0，1，0），B （2

3

，0，0），A（2

3

，4，0），P（0，0，2），
M（

3

2

，0

3

2

）．∴

DP

=（0，-1，2），

DA

=（2

3

，3，0），

CM

=（

3

2

，0，

3

2

）．
设平面PAD的法向量为

n

=（x，y，1），由

n

?

DP

=0，且

n

?

DA

=0 可得 x=-

3

，y=2，
∴

n

=（-

3

，2，1）．又因为

n

?

CM

=（-

3

，2，1）?（

3

2

，0，

3

2

）=0，
∴

n

⊥

CM

，又因为 CM不在平面PAD内，∴CM∥平面PAD．
取AP的中点E，则 E（

3

，2，1），

BE

=（-

3

，2，1）因为PB=AB，∴

BE

⊥

AP

．
又因为

BE

?

DA

=（-

3

，2，1）?（2

3

，3，0）=0，∴

BE

⊥

DA

，∴

BE

⊥平面PAD；
∴BE平面PAD，又因为 BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（2）由上面得

BE

⊥平面PAD，∴

BE

是平面PAD的法向量，
∴平面PAD的单位法向量为

n0

=

BE

|

BE

|

=

(-3 ，2，1)

2

，又因为

CD

=（0，1，0），
∴点C到平面PAD的距离为 d=|

n0

?

CD

|=|

(-3 ，2，1)

2

?（0，1，0）|=

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中..”的主要目的是检查您对于考点“高中点到直线、平面的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中点到直线、平面的距离”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：