如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，(Ⅰ)证明：CD⊥AE；(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，
(Ⅰ)证明：CD⊥AE；
(Ⅱ)证明：PD⊥平面ABE；
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD

平面ABCD，
故PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，AE

平面PAC，
∴AE⊥CD。
(Ⅱ)证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA，
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由(Ⅰ)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD，而PD

平面PCD，
∴AE⊥PD，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，
又AD⊥AB，PA∩AD=A，
∴AB⊥面PAD，
∴AB⊥PD，
又AB∩AE=A，
综上得，PD⊥平面ABE。

(Ⅲ)解：由题设PA⊥底面ABCD，PA

平面PAD，
则平面PAD⊥平面ACD，交线为AD，
过点C作CF⊥AD，垂足为F，
故CF⊥平面PAD，过点F作FM⊥PD，垂足为M，
连接CM，故CM⊥PD，因此∠CMF是二面角A-PD-C的平面角，
由已知，可得∠CAD=30°，
设AC=a，可得PA=a，

，
∵

，
∴

，
于是，

，
在Rt△CMF中，

，
故二面角A-PD-C的余弦值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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