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1、试题题目:已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(Ⅱ)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.

  试题来源:北京   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:直线与椭圆方程的应用



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n.
x2+3y2=4
y=-x+n
得4x2-6nx+3n2-4=0.
因为A,C在椭圆上,
所以△=-12n2+64>0,解得-
4
3
3
<n<
4
3
3

设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
x1+x2=
3n
2
x1x2=
3n2-4
4
,y1=-x1+n,y2=-x2+n.
所以y1+y2=
n
2

所以AC的中点坐标为(
3n
4
n
4
)

由四边形ABCD为菱形可知,点(
3n
4
n
4
)
在直线y=x+1上,
所以
n
4
=
3n
4
+1
,解得n=-2.
所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,
所以|AB|=|BC|=|CA|.
所以菱形ABCD的面积S=
3
2
|AC|2

由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=
-3n2+16
2

所以S=
3
4
(-3n2+16)(-
4
3
3
<n<
4
3
3
)

所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值4
3
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中直线与椭圆方程的应用”。


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