设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=32，已知点P（0，32）到这个椭圆上的点最远距离是7．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标．-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=32，已知点P（0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=

3

2

，已知点P（0，

3

2

）到这个椭圆上的点最远距离是

7

．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于

7

的点的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

根据题设条件，可取椭圆的参数方程是

x=acosθ

y=bsinθ

，其中0≤θ＜2π，
由e2=

c2

a2

=1-(

b

a

)2可得

b

a

=

1-e2

=

1-

3

4

=

1

2

，即a=2b．
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则
d2=x2+(y-

3

2

)2
=a2cos2θ+(bsinθ-

3

2

)2
=a2-(a2-b2) sin2θ-3bsinθ+

9

4

=4b2-3b2sin2θ-3bsinθ+

9

4

=-3b2(sinθ+

1

2b

)2+4b2+3．
如果

1

2b

＞1，即b＜

1

2

，则当sinθ=-1时，d²有最大值，由题设得(

7

)2=(b+

3

2

)2，
由此得b=

7

-

3

2

＞

1

2

，与b＜

1

2

矛盾．
因此必有

1

2b

≤1成立，于是当sinθ=-

1

2b

时，d²有最大值，由题设得(

7

)2=4b2+3，
由此可得b=1，a=2．
所求椭圆的参数方程是

x=2cosθ

y=sinθ

，由sinθ=-

1

2

，cosθ=±

3

2

可得，
椭圆上的点(-

3

，-

1

2

)和(

3

，-

1

2

)到点P的距离都是

7

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=32，已知点P（0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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