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1、试题题目:在数列{an}和{bn}中,已知an=an,bn=(a+1)n+b,n=l,2,3,…,其..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-03-03 07:30:00

试题原文

在数列{an}和{bn}中,已知an=an,bn=(a+1)n+b,n=l,2,3,…,其中a≥2且a∈N*,b∈R.
(Ⅰ)若a1=b1,a2<b2,求数列{bn}的前n项和;
(Ⅱ)证明:当a=2,b=时,数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列;
(Ⅲ)设集合A={a1,a2,a3,…},B={b1,b2,b3,…}.试问在区间[1,a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠,若存在,求出b的一切可能的取值及相应的集合C;若不存在,说明理由。

  试题来源:北京模拟题   试题题型:解答题   试题难度:偏难   适用学段:高中   考察重点:等差数列的前n项和



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
解:(Ⅰ)因为a1=b1,所以a=a+1+b,b=-1,
由a2<b2,得a2-2a-1<0, 所以1-<a<1+
因为a≥2且a∈N*,所以a=2,所以bn=3n-1,{bn}是等差数列,
所以数列{bn}的前n项和
(Ⅱ)由已知bn=3n+
假设3m+,3n+,3t+成等比数列,其中m,n,t∈N*,且彼此不等,
则(3m+2=(3m+)(3t+),
所以9n2+6n+2=9mt+3m+3t+2,
所以3n2-3mt=(m+t-2n)
若m+t-2n=0,则3n2-3mt=0,可得m=t,与m≠t矛盾;
若m+l-2n≠0,则m+t-2n为非零整数,(m+t-2n)为无理数,
所以3n2-3mt为无理数,与3n2-3mt是整数矛盾,
所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列。
(Ⅲ)设存在实数b∈[1,a],使C=A∩B≠
设m0∈C,则m0∈A,且m0∈B,
设m0=at(t∈N*),m0=(a+1)s+b(s∈N*),
则at=(a+1)s+b,所以
因为a,t,s∈N*,且a>2,所以at-b能被a+1整除,
(1)当t=1时,因为b∈[1,a],a-b∈[0,a-1],所以,
(2)当t=2n(n∈N*)时,

由于b∈[1,a],b-1∈[0,a-1],0≤b-1<a+1,
所以,当且仅当b=1时,at-b能被a+1整除;
(3)当t=2n+1(n∈N*)时,


由于b∈[1,a],b+1∈[2,a+1],
所以,当且仅当b+1=a+1,即b=a时,at-b能被a+1整除;
综上,在区间[1,a]上存在实数b,使C=A∩B≠成立,
且当b=1时,C={y|y=a2n,n∈N*};
当b=a时,c={y|y=a2n+1,n∈N*}。
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“在数列{an}和{bn}中,已知an=an,bn=(a+1)n+b,n=l,2,3,…,其..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的前n项和”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中等差数列的前n项和”。


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